- A receita marginal mede o quanto a receita total aumenta quando uma unidade adicional é vendida e, em um mercado de concorrência perfeita, é igual ao preço.
- A condição de lucro máximo exige que MR = MC, com MR = P + Q·dP/dQ e, em demanda linear, MR = a − 2bQ.
- Rota da elasticidade: IM = P·(1 − 1/|Ep|); é positivo em seções elásticas, zero em |Ep|=1 e negativo em seções inelásticas.
Quando as empresas consideram quanto produzir e a que preço vender, um conceito é fundamental: a receita marginal. Em termos simples, é o aumento da receita gerado pela venda de uma unidade adicional. É uma bússola básica para determinar o nível ideal de produção. E, juntamente com o custo marginal, marca o ponto em que os lucros atingem seu pico.
Na linguagem da economia, a receita marginal relaciona preço, quantidade vendida e a resposta dos consumidores às mudanças nesse preço. Se você entender como a receita muda ao vender mais uma unidadeIsso também explica por que, às vezes, é melhor produzir mais e por que, em outras ocasiões, é necessário frear.
O que é receita marginal e como ela é calculada?
A receita marginal (RM) é a variação na receita total (RT) obtida com a venda de uma unidade adicional do produto. Em termos discretos, IM = ΔIT/ΔQOu seja, o aumento da receita total dividido pelo aumento da quantidade vendida.
Em termos contínuos, quando tratamos as quantidades como variáveis suaves, a receita marginal é a derivada da receita total em relação à quantidade: IM = d(IT)/dQComo a receita total é RT = P(Q) · Q, onde P(Q) é o preço que depende da quantidade, temos que a receita marginal incorpora dois efeitos: o preço pelo qual você vende essa unidade extra e como o preço muda quando você vende mais.
Aplicando a regra do produto, obtemos: IM = dP/dQ · Q + PO segundo termo (P) representa a receita da unidade adicional vendida; o primeiro, dP/dQ · Q, captura a perda de receita resultante da necessidade de reduzir o preço de todas as unidades quando o preço cai à medida que mais unidades são vendidas (algo típico fora de um cenário de concorrência perfeita).
Em um mercado perfeitamente competitivo, o produtor é um tomador de preços, então dP/dQ = 0 e IM = PFora de um cenário de concorrência perfeita, como em um monopólio ou em mercados com poder de mercado, dP/dQ < 0 e, portanto, a receita marginal é menor que o preço.
Lucro, custo marginal e a condição de equilíbrio RM = CM
O lucro de uma empresa pode ser expresso como B = P(Q) · Q − C(Q)onde C(Q) é o custo total em função da quantidade. Maximizar o lucro consiste em encontrar a quantidade Q que maximiza essa diferença.
A condição necessária para um máximo é obtida diferenciando o lucro em relação a Q e exigindo que a derivada seja zero: dB/dQ = d(P·Q)/dQ − dC(Q)/dQ = IM − CM = 0Isso leva à condição clássica de equilíbrio interno: IM = CM.
A regra de decisão é intuitiva: se IM > CMProduzir mais uma unidade gera mais receita do que custo, e vale a pena expandir a produção; se IM < CMEssa unidade adicional aumenta o custo em relação à receita, e cortes precisam ser feitos. No ponto em que IM = CMA empresa não tem mais nenhum incentivo para aumentar ou diminuir sua produção, pois qualquer mudança reduziria os lucros.
Nas fases iniciais da produção, a receita marginal geralmente excede o custo marginal; posteriormente, à medida que os rendimentos decrescentes aparecem e os custos marginais aumentam, É possível que o CM eventualmente ultrapasse o IM e fechar a janela para continuar aumentando Q sem perder a rentabilidade.
Elasticidade-preço da demanda e sua relação com a receita marginal
A elasticidade-preço da procura (Ep) mede como a quantidade procurada varia em resposta às variações de preço. Formalmente, Ep = (P/Qd) · (dQd/dP)Dessa relação, deriva-se uma expressão muito útil para a receita marginal.
Reorganizando, obtemos P/Ep = Qd · dP/dQdSubstituindo na expressão da receita marginal MR = P + Q · dP/dQ, obtemos: IM = P + P/Ep = P · (1 + 1/Ep).
Como a elasticidade Ep geralmente é considerada negativa para demandas normais, é comum escrevê-la com seu valor absoluto: IM = P · (1 − 1/|Ep|)Essa fórmula permite visualizar rapidamente quando a receita marginal é positiva, zero ou negativa.
- Se |Ep| = 1 (Demanda com elasticidade unitária), a receita marginal é zero. Aumentar o preço reduz a quantidade na mesma proporção, e a receita total permanece inalterada.
- Se |Ep| < 1 (Demanda inelástica), a receita marginal é negativa. Aumentar a produção reduzindo o preço diminui a receita total.
- Se |Ep| > 1 (demanda elástica), a receita marginal é positiva. Produzir e vender mais aumenta a receita total.
Essa relação explica por que um produtor com poder de mercado nunca escolherá um ponto na curva de demanda que seja inelástico: Nesse caso, a receita marginal seria negativa. e não poderia ser igual ao custo marginal sem destruir os lucros; além disso, afeta o excedente do consumidorAliás, o pico da receita total é atingido precisamente quando IM = 0, o que coincide com |Ep| = 1.
Estruturas de mercado: concorrência perfeita versus monopólio
Em um mercado de concorrência perfeita, o preço de mercado é fixo para cada empresa, portanto dP/dQ = 0Ao derivar a receita total TR = P · Q com P constante, obtemos IM = PPortanto, nesse ambiente, a condição de equilíbrio de lucro máximo também é escrita como P = CM.
Em um monopólio, a quantidade vendida determina o preço (a curva de demanda inversa tem inclinação negativa), portanto dP/dQ < 0 e IM < PO monopolista equilibra a receita marginal (RM) com o custo marginal (CM), sabendo que cada unidade adicional vendida torna todas as unidades anteriores mais baratas, reduzindo assim a receita marginal em relação ao preço.
Existe um resultado muito prático com demandas lineares. Se a demanda inversa for p = a − b · Q, então a receita total é TR = a · Q − b · Q² e a receita marginal acaba sendo IM = a − 2b · QOu seja, a linha de receita marginal tem a mesma intersecção com o eixo y que a linha de demanda, mas o dobro da inclinação em valor absoluto.
Uma consequência fundamental é que o monopolista não produz na região de demanda inelástica (|Ep| < 1), porque lá IM < 0A produção que maximiza o lucro deve estar na seção elástica (|Ep| > 1), onde a receita marginal é positiva e pode ser igual ao custo marginal.
É importante distinguir entre receita marginal e receita média (RM). A receita média é a receita por unidade vendida e coincide com o preço quando todas as unidades são vendidas à mesma taxa. A receita marginal, por outro lado, é a aumento na receita total devido à venda de uma unidade adicionalEm mercados com poder de mercado, IMe e IM diferem porque a empresa precisa baixar o preço para vender mais.
Exemplos práticos para reforçar as ideias
Imagine uma empresa que fabrica bonecas. Com zero unidades, a receita total é zero. Se ela vender a primeira boneca por 15 euros, a receita total aumenta para 15 euros e a receita aumenta para 10 euros. A receita marginal dessa primeira unidade é de 15. (15 − 0, para uma unidade adicional).
Se com a segunda boneca a renda total subir para 25, então o A receita marginal do segundo é 10 (25 − 15). Observe que, embora o preço médio possa estar mudando, o que é importante para a decisão é quanto essa unidade adiciona à receita e quanto ela adiciona aos custos.
Outro exemplo clássico: um vendedor em concorrência perfeita oferece copos de suco por €2 e pode vender quantos quiser a esse preço. Se aumentar as vendas de 10 para 11 copos, a receita total aumenta de €20 para €22. Portanto, IM = 2o que coincide com o preço, como deve acontecer quando o preço é exógeno à empresa.
Quando uma empresa precisa baixar o preço para vender mais (poder de mercado), a receita marginal será menor que o preço: vender mais uma unidade aumenta a receita dessa venda. mas reduz o valor cobrado pelas unidades anteriores.Em notação, IM = P + Q · dP/dQ, sendo dP/dQ negativo.
Curvas IM e CM: interpretação gráfica e condições
Uma forma visual de visualizar a maximização do lucro é traçar a curva de receita marginal, MR(Q), e a curva de custo marginal, MC(Q). O ponto onde elas se cruzam determina a quantidade ótima. Se a RM estiver diminuindo e a CM estiver aumentando (Um caso muito comum), a travessia é única e corresponde a um máximo de benefícios.
Matematicamente, lembre-se de que R(Q) = P(Q) · Q. Sua derivada é R'(Q) = P(Q) + Q · P'(Q), que é a receita marginal. A condição de primeira ordem para maximizar os lucros é R'(Q) = C'(Q), ou equivalentemente, IM = CM.
Se, hipoteticamente, o custo marginal estivesse diminuindo e a receita marginal estivesse aumentando (incomum, mas útil como experimento mental), o ponto de corte poderia corresponder a um mínimo, e não a um máximo. Portanto, além da condição de primeira ordem, É necessário verificar a inclinação relativa. de ambas as curvas em torno do ponto ótimo.
Também é interessante observar a equivalência entre essa abordagem e o método do isoprofito. Se a demanda inversa for expressa como P = f(Q), então a receita marginal pode ser escrita como IM = f(Q) + Q · f'(Q)Reorganizando a condição IM = CM, obtemos f'(Q) = (CM − P)/Q, que igualou a inclinação da curva de demanda à da curva de isoprofito em outra apresentação do mesmo problema.
Relação com a receita total e elasticidade
A receita total (RT) e a receita marginal têm uma relação simples: O valor de IT é maximizado quando MR = 0.Na demanda linear, o ponto em que a receita marginal cruza o eixo horizontal coincide com a metade da intersecção da linha de demanda com o eixo da quantidade, e o preço nesse ponto geralmente está no ponto médio da linha de demanda em termos de receita.
Do ponto de vista da elasticidade: quando a demanda é elástica (|Ep| > 1), a receita total aumenta à medida que mais é vendido e, portanto, IM > 0Ao passar por |Ep| = 1, a receita marginal (MR) torna-se zero; e no segmento inelástico (|Ep| < 1), a receita total cai se mais for vendido, refletindo que IM < 0.
Concorrência perfeita: o caso P = RM
Em um mercado de concorrência perfeita, como o preço não se altera quando a quantidade individual de cada empresa varia, a derivada do preço em relação à quantidade é zero. Portanto, a receita marginal é reduzida a IM = PA regra de produção para maximizar os lucros torna-se bem conhecida. P = CME a curva de oferta da empresa em concorrência perfeita é a parcela crescente do seu custo marginal acima do custo variável médio.
Essa simplicidade desaparece quando existe poder de mercado. Nesse caso, à medida que Q aumenta, o preço cai, e o termo Q · dP/dQ diminui a receita marginal. É por isso que o IM está abaixo do preço. e o produtor explora a margem entre os dois com uma quantidade inferior à do concorrente.
Demanda linear: um guia rápido
Se a demanda inversa for p = a − b · Q, a receita total será TR = a · Q − b · Q², um polinômio quadrático com concavidade voltada para baixo. Sua derivada é IM = a − 2b · Q, uma linha reta que intercepta o eixo da quantidade em Q = a/(2b). Como a receita total é maximizada onde MR = 0, esse é o ponto de TR máximo. A inclinação da IM é o dobro, em valor absoluto, da inclinação da demanda., um atalho muito útil em exercícios e análises.
Quando coincide com um custo marginal crescente, ocorre o ponto de inflexão de A razão entre a margem de lucro (IM) e a margem de contribuição (CM) determina a quantidade que maximiza os lucros.E como essa transição, em um monopólio, sempre ocorre na porção elástica da demanda, fica claro por que o monopolista não expande a produção até que o preço se iguale ao custo marginal.
IM versus CM: decisões de produção
O critério operacional do dia a dia é simples: se a produção de mais uma unidade resultar em receita marginal superior ao custo marginal, essa unidade agrega benefícios E precisa ser produzido. Se ocorrer o contrário, é melhor não produzi-lo. Essa abordagem marginal serve tanto para maximizar os lucros quanto para minimizar as perdas de curto prazo em contextos menos favoráveis.
O formato das curvas também importa. Em muitos processos, o custo marginal acaba aumentando devido à diminuição dos rendimentos ou gargalos, enquanto a receita marginal geralmente diminuem à medida que Q aumenta devido à necessidade de baixar os preços para vender mais. A intersecção entre os dois resume o equilíbrio de poder.
Outras abordagens e aplicações
Embora geralmente assumamos que o objetivo seja maximizar os lucros, existe literatura que explora situações em que as empresas buscam a maximização da receita. Sob certas condições de governança corporativa, Os gerentes podem estar mais interessados em aumentar as vendas. que os benefícios (como Baumol salientou), devido à forma como são avaliados ou incentivados.
Uma derivação interessante da ideia de receita marginal surge no mercado de trabalho: o salário que uma empresa está disposta a pagar está relacionado a quanto Aumenta a receita marginal ao contratar uma pessoa.É por isso que alguns clubes esportivos gastam grandes somas em contratações que esperam que multipliquem a receita proveniente de ingressos, patrocínios e direitos audiovisuais.
Glossário rápido
Receita Marginal (RM): Variação na receita total resultante da venda de mais uma unidade. No cálculo, d(TR)/dQ. Em concorrência perfeita, coincide com o preço; com poder de mercado, é menor que o preço.
Custo marginal (CM): A variação no custo total ao produzir uma unidade adicional. É a derivada do custo total, C'(Q), e sua intersecção com o IM Determina a quantidade ideal para a maximização do lucro.
Renda média (RM): Receita por unidade vendida (RT/Q). Em mercados com preço único por unidade, coincide com P; Não deve ser confundido com o IM..
Considerando tudo o que foi exposto acima, a ideia central da análise fica clara: a receita marginal resume como a receita responde a cada unidade adicional, está intimamente relacionada à elasticidade e, quando igual ao custo marginal, Marque a quantidade que maximiza o lucro. E, em termos de eficiência, está relacionado com o Alocação eficiente de Pareto tanto em concorrência perfeita (onde a receita marginal é igual ao preço) quanto em estruturas com poder de mercado (onde a receita marginal permanece abaixo do preço e nunca opera na porção inelástica da demanda).
