Kaj je asociativna lastnost: jasen vodnik s primeri in vajami

Začetek » Gospodarstvo » Kaj je asociativna lastnost: jasen vodnik s primeri in vajami

Če imate kakršna koli vprašanja o verižnih operacijah in oklepajih, je tukaj jasen in preprost vodnik za razumevanje, kaj je asociativna lastnost in kdaj se uporablja. Skratka, Asociativnost pomeni, da način združevanja števil ne spremeni rezultata. pri določenih operacijah. Videli boste, da to deluje pri seštevanju in množenju, ne pa pri odštevanju ali deljenju.

Preden se lotimo dela, ne pozabite, da oklepaji označujejo vrstni red izračuna. Najprej rešite oklepaje, nato pa še ostaloZato je način združevanja stvari tako pomemben. S preprostimi primeri in nekaj vizualnimi triki (sadje in kocke) boste na praktičen način videli, katere operacije so asociativne in katere ne.

Kaj pomeni asociativna lastnina?

Ko govorimo o asociativnosti, mislimo, da če imamo tri števila, se rezultat ne spremeni, tudi če združimo prvi dve ali zadnji dve. To se zgodi pri seštevanju in množenju.V splošnem zapisu se seštevanje izrazi kot (a + b) + c = a + (b + c), množenje pa kot (a · b) · c = a · (b · c).

Upoštevajte, da asociativnosti ne smemo zamenjevati s komutativnostjo. Komutativnost se ukvarja z vrstnim redom seštevalcev ali faktorjev (na primer a + b = b + a), medtem ko Asociativnost se osredotoča na to, kako se združujemo Številke v oklepajih. Gre za različne lastnosti, čeprav jih včasih uporabljamo skupaj pri računanju v glavi.

Da bi razumeli trivialno enakost, si predstavljajte nekaj tako osnovnega, kot je 10 = 10Na prvi pogled ne doda nobenih informacij, vendar nas spomni, da bomo s prerazporeditvijo in prerazvrščanjem z ustreznimi lastnostmi prišli nazaj do iste vrednosti, če je lastnost veljavna.

Asociativna lastnost seštevanja

Poleg tega ni pomembno, ali najprej seštejete a, b in c; vsota je enaka. V zapisu: (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + bTa trojna enakost poudarja, da se lahko pregrupirate na več načinov, ne da bi spremenili končni rezultat.

Poglejmo si s konkretnimi vrednostmi. Če je a = 3, b = 18 in c = 1, izračunamo: (3 + 18) + 1 = 21 + 1 = 22Če jih združimo drugače: 3 + (18 + 1) = 3 + 19 = 22. In drugače: (3 + 1) + 18 = 4 + 18 = 22. Kot lahko vidite, Tri skupine imajo 22.

Vizualni pripomoček vedno pomaga. Predstavljajte si, da seštevate 3 + 2 + 1 s sadjem. Če najprej združite 3 in 2, dobite 5, nato pa seštejete 1, da dobite 6 kosov sadjaČe namesto tega združite 2 in 1, da dobite 3, in nato dodate 3, dobite tudi 6. Oklepaji se spremenijo, vendar skupni znesek se ne spremeni.

Ta lastnost močno olajša miselne izračune. Na primer, seštevalce lahko pregrupirate, da dobite zaokrožene desetice ali stotice. Čeprav smo se tukaj osredotočili na 3, 18 in 1, je ideja splošna: Zberite številke, ki vam poenostavijo izračun in rezultat bo enak, dokler samo seštevamo.

Asociacijska lastnost množenja

Nekaj ​​podobnega se zgodi pri množenju: produkt se ne spremeni, ko se spremeni način združevanja faktorjev. V simbolih, (a × b) × c = a × (b × c)Množenje boste našli zapisano z "x" ali s piko "·"; oba pomenita isto stvar.

Hiter preizkus: izračunajte (2 × 3) × 4 in nato 2 × (3 × 4). Najprej (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24Drugič, 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24. Obe poti vodita do istega produkta.

Še bolj popolno: če je a = 3, b = 5 in c = 10, potem (3 × 5) × 10 = 15 × 10 = 150, medtem ko je 3 × (5 × 10) = 3 × 50 = 150. Tudi če združimo kot (3 × 10) × 5 = 30 × 5 = 150, še vedno dobimo 150. Spremenimo oklepaje, rezultat ostaja.

Še en klasičen primer s piko namesto "x" potrjuje idejo: (2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5)Na levi je 6 · 5 = 30; na desni pa 2 · 15 = 30. V obeh primerih je 30 = 30, kar kaže, da Način združevanja pri množenju ne spremeni produkta..

Vizualni primer s kockami

Predstavljajte si strukturo iz kock, razporejenih v vrsticah in stolpcih. Skupaj je 24 kock. Eden od načinov za njihovo štetje je, da si ogledate stolpec: na 2 nivoja so 3 kocke, torej 3 × 2 = 6 kock na stolpecČe so 4 stolpci, je 6 × 4 = 24.

Druga strategija je, da začnete z eno vrsto: opazujete 4 kocke po 2 nivojih, kar je enakovredno 4 × 2 = 8 kock na vrstoČe preštejemo 3 vrstice, je 8 × 3 = 24. Čeprav smo faktorje različno združili glede na strukturo (najprej stolpec in nato skupno število stolpcev ali prva vrstica in nato skupno število vrstic), število se ujema.

Te vrste predstavitev pomagajo jasno razumeti, zakaj je množenje asociativno. Delitelje lahko prerazporedite glede na vrstice, stolpce ali ravni, skupno število pa se ne spremeni. Izobraževanje matematike, Te vizualne razčlenitve krepijo konceptualno razumevanje onkraj samodejnega izračuna.

Zakaj odštevanje ni asociativno

Odštevanje se obnaša drugače. Tukaj je pomembno združevanje. Opazujte primer 10 − 5 − 3. Če izračunate (10 − 5) − 3 = 5 − 3 = 2Če pa izračunate 10 − (5 − 3) = 10 − 2 = 8, se rezultat spremeni. Zato, odštevanje ne izpolnjuje asociativne lastnosti.

Ta razlika nastane, ker odštevanje strukturno ni simetričen postopek "seštevanja". Ko pri odštevanju odprete oklepaje, Spreminjate vrednost, ki se odšteje. Zato se rezultat razlikuje. Pri odštevanju je ključnega pomena upoštevati oklepaje, da se izognemo napakam.

Zakaj tudi delitev ni asociativna

Deljenje deluje na enak način kot odštevanje: način združevanja števil spremeni količnik. Razmislite o 8 ÷ 2 ÷ 2. Če operirate (8 ÷ 2) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2Po drugi strani pa je 8 ÷ (2 ÷ 2) = 8 ÷ 1 = 8. To so različni rezultati, zato deljenje ni asociativno.

Drug zelo jasen primer je 18 ÷ 6 ÷ 3. Če združite na levi, (18 ÷ 6) ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1; če združite na desni, je 18 ÷ (6 ÷ 3) = 18 ÷ 2 = 9. Kot lahko vidite, se 1 in 9 razhajata; Postavitev oklepajev popolnoma spremeni rezultat.

Pomembna podrobnost glede zapisa in računanja: kadar ni oklepajev, Verižne delitve se rešujejo od leve proti desniTo merilo se izogne ​​dvoumnostim in ohranja standardni vrstni red operacij.

Za kaj se uporablja asociativna lastnost?

Asociativnost je še posebej uporabna za miselno računanje in poenostavitev dolgih operacij. Seštevalce ali faktorje lahko prerazporedite, da dobite "okrogle" ali bolj obvladljive številke. Skratka, Najprej zberite številke, ki jih želite seštetiPri množenju združite faktorje, ki dajo enostavne vmesne produkte.

Na primer, če se v zaporedju seštevanja pojavijo števila, ki dopolnjujejo desetice, jih lahko združite in seštevate hitreje. Pri množenju je združevanje za pridobitev 10, 100 ali 1000 velika prednost. Vendar ne pozabite: Te svobode združevanja veljajo le, kadar gre za združenje.Se pravi, seštevanje in množenje.

Druge povezane nepremičnine

Poleg asociativnosti se v osnovni aritmetiki pojavljajo tudi drugi koncepti, kot sta komutativnost in distributivnost. Komutativnost pomeni, da vrstni red členov ne spremeni rezultata pri seštevanju in množenju, distributivnost pa povezuje množenje in seštevanje. V našem kontekstu, Ključno je, da ne mešamo konceptov: povezovanje ni isto kot permutiranje.In nobena od teh dveh lastnosti ne velja za odštevanje ali deljenje, kot ju običajno uporabljamo.

Poglejmo nekaj primerov

Za okrepitev konceptov bomo pregledali že videne primere in dodali podrobne razlage. Bodite pozorni na to, kako oklepaji vodijo izračun. Ko je operacija asociativna, se vse skupine ujemajo.Ko ni tako, so rezultati drugačni.

Vaje z rešitvami in razlagami

Vaja odpravlja dvome in krepi intuicijo. Spodaj ponujamo več vodenih vaj z njihovimi rezultati, da se lahko sami prepričate, kje asociativna lastnost velja in kje ne. Bodite pozorni na oklepaje in vrsto operacije.

Vaja 1 (seštevanje)

Preverite enakost z a = 3, b = 18 in c = 1. Najprej skupina (a + b) + c:

• (3 + 18) + 1 = 21 + 1 = 22

Sedaj spremenite združevanje v 3 + (18 + 1). Primerjajte rezultat:

• 3 + (18 + 1) = 3 + 19 = 22

In končno, (3 + 1) + 18. Izračunamo ga, da zaključimo preverjanje. Skupno število tekem:

• (3 + 1) + 18 = 4 + 18 = 22

Vaja 2 (seštevanje z vizualno podporo)

Predstavljajte si 3 + 2 + 1 kot združeno sadje. Če najprej združite 3 in 2, dobite 5, nato pa dodate 1. Rezultat: 6.

• (3 + 2) + 1 = 5 + 1 = 6

Če najprej združite 2 in 1, da dobite 3, nato pa dodate 3, dobite tudi 6. Seštevanje je asociativno:

• 3 + (2 + 1) = 3 + 3 = 6

Vaja 3 (množenje)

Preveri (2 × 3) × 4 in 2 × (3 × 4). Reši na oba načina:

• (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24
• 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

Obe možnosti dajeta enak izdelek. Množenje zadošča asociativni lastnosti.

Vaja 4 (množenje s tremi skupinami)

Naj bo a = 3, b = 5, c = 10. Izračunajte tri načine za podrobno preverjanje. Prva skupina:

• (3 × 5) × 10 = 15 × 10 = 150

Druga skupina. Upoštevajte, da se izdelek ne spremeni.:

• 3 × (5 × 10) = 3 × 50 = 150

Tretja skupina. Ista zgodba: rezultat ostaja:

• (3 × 10) × 5 = 30 × 5 = 150

Tudi s pikčastim zapisom namesto "x" je ideja enaka: (2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5) in 30 = 30.

Vaja 5 (neasociativno odštevanje)

Izračunajte 10 − 5 − 3 na dva načina, da ugotovite, zakaj odštevanje ni asociativno. Najprej skupina na levi:

• (10 − 5) − 3 = 5 − 3 = 2

Zdaj pa se združite na desno. Rezultat se spremeni:

• 10 − (5 − 3) = 10 − 2 = 8

Ker je 2 ≠ 8, odštevanje ne izpolnjuje asociativne lastnosti.

Vaja 6 (neasociativna delitev)

Prva primerjava z 8 ÷ 2 ÷ 2. Dve skupini, dva rezultata:

• (8 ÷ 2) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2
• 8 ÷ (2 ÷ 2) = 8 ÷ 1 = 8

Druga primerjava z 18 ÷ 6 ÷ 3. Razlika se spet pojavi:

• (18 ÷ 6) ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1
• 18 ÷ (6 ÷ 3) = 18 ÷ 2 = 9

Ne pozabite: če ni oklepajev, Izračuna se od leve proti desni. v povezanih oddelkih.

Po pregledu vseh teh situacij s številkami in miselnimi podobami postane osrednja ideja jasna: Seštevanje in množenje omogočata pregrupiranje brez spreminjanja rezultataOdštevanje in deljenje pa sta odvisna od oklepajev, zato se njuna končna vrednost lahko spreminja. Pravilna uporaba teh pravil preprečuje napake in olajša miselno računanje v vsakdanjem življenju.