Шта је асоцијативно својство: јасан водич са примерима и вежбама

иницирање » Привреда » Шта је асоцијативно својство: јасан водич са примерима и вежбама

Ако сте имали било каквих питања о ланчаним операцијама и заградама, ево јасног и једноставног водича за разумевање шта је асоцијативно својство и када се примењује. Укратко, Асоцијативност показује да начин на који су бројеви груписани не мења резултат. у одређеним операцијама. Видећете да ово функционише код сабирања и множења, али не и код одузимања или дељења.

Пре него што пређемо на посао, запамтите да заграде означавају редослед израчунавања. Прво решите заграде, а затим осталоЗато је начин на који групишете ствари толико важан. Уз једноставне примере и неколико визуелних трикова (воће и коцке), видећете на практичан начин које су операције асоцијативне, а које нису.

Шта значи асоцијативна својина?

Када говоримо о асоцијативности, мислимо да ако имамо три броја, резултат се не мења чак и ако групишемо прва два или последња два. Ово се дешава код сабирања и множења.У општој нотацији, сабирање се изражава као (a + b) + c = a + (b + c), а множење као (a · b) · c = a · (b · c).

Имајте на уму да асоцијативност не треба мешати са комутативношћу. Комутативност се бави редоследом сабирака или чинилаца (на пример, a + b = b + a), док Асоцијативност се фокусира на то како се групишемо Ти бројеви у заградама. То су различита својства, иако их понекад користимо заједно када рачунамо у себи.

Да бисте разумели тривијално једначење, замислите нешто тако основно као што је КСНУМКС = КСНУМКСНа први поглед не додаје никакве информације, али нас подсећа да ћемо, преуређивањем и прегруписањем са одговарајућим својствима, доћи до исте вредности ако је својство валидно.

Асоцијативно својство сабирања

Поред тога, није битно да ли прво саберете a, b и c; укупан износ је исти. У нотацији: (а + б) + ц = а + (б + ц) = (а + ц) + бОва трострука једнакост истиче да се можете прегруписати на неколико начина без промене коначног резултата.

Погледајмо то са конкретним вредностима. Ако је a = 3, b = 18 и c = 1, израчунавамо: (3 + 18) + 1 = 21 + 1 = 22Ако их групишемо другачије: 3 + (18 + 1) = 3 + 19 = 22. И на други начин: (3 + 1) + 18 = 4 + 18 = 22. Као што видите, Три групе имају 22.

Визуелно помагало увек помаже. Замислите да сабирате 3 + 2 + 1 са воћем. Ако прво групишете 3 и 2, добићете 5, а затим додате 1 да бисте добили 6 комада воћаАко уместо тога групишете 2 и 1 да бисте добили 3, а затим додате 3, такође добијате 6. Заграде се мењају, али укупан износ се не мења.

Ово својство знатно олакшава ментално рачунање. На пример, можете прегруписати сабираке да бисте добили заокружене десетице или стотине. Иако смо се овде фокусирали на 3, 18 и 1, идеја је општа: Прикупите бројеве који ће вам поједноставити израчунавање и резултат ће бити исти, све док само сабирамо.

Асоцијативно својство множења

Нешто слично се дешава са множењем: производ се не мења када се промени начин груписања чинилаца. У симболима, (а × б) × ц = а × (б × ц)Множење ћете наћи написано са „x“ или са тачком „·“; оба означавају исту ствар.

Брзи тест: израчунајте (2 × 3) × 4, а затим 2 × (3 × 4). Прво, (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24Друго, 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24. Оба пута воде до истог производа.

Још потпуније: ако је a = 3, b = 5 и c = 10, онда (3 × 5) × 10 = 15 × 10 = 150, док је 3 × (5 × 10) = 3 × 50 = 150. Чак и ако групишемо као (3 × 10) × 5 = 30 × 5 = 150, и даље добијамо 150. Мењамо заграде, резултат остаје.

Још један класичан пример са тачком уместо „x“ појачава идеју: (2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5)Лево, 6 · 5 = 30; десно, 2 · 15 = 30. У оба случаја, 30 = 30, што показује да Начин груписања код множења не мења производ.

Визуелни пример са коцкама

Замислите структуру од коцки распоређених у редове и колоне. Укупно има 24 коцке. Један од начина да их избројите је да погледате колону: постоје 3 коцке по 2 нивоа, тј. 3 × 2 = 6 коцки по колониАко постоје 4 колоне, 6 × 4 = 24.

Друга стратегија је да почнете са једним редом: посматрате 4 коцке по 2 нивоа, што је еквивалентно 4 × 2 = 8 коцки по редуАко бројимо 3 реда, 8 × 3 = 24. Иако смо фактори груписали различито према структури (прва колона, па затим укупан број колона, или први ред, па затим укупан број редова), број се поклапа.

Ове врсте представљања помажу да се јасно види зашто је множење асоцијативно. Можете прегруписати факторе према редовима, колонама или нивоима, а укупан број се не мења. математичко образовање, Ови визуелни прегледи појачавају концептуално разумевање изван аутоматског израчунавања.

Зашто одузимање није асоцијативно

Одузимање се понаша другачије. Овде је груписање важно. Посматрајте случај 10 − 5 − 3. Ако израчунате (10 − 5) − 3 = 5 − 3 = 2Али ако урадите 10 − (5 − 3) = 10 − 2 = 8, резултат се мења. Стога, Одузимање не задовољава асоцијативно својство.

Ова разлика настаје зато што одузимање, структурно, није симетричан процес „сабирања“. Када отворите заграде у одузимању, Мењате вредност која се одузима. Стога, резултат варира. Кључно је поштовати заграде приликом одузимања како би се избегле грешке.

Зашто ни дељење није асоцијативно

Дељење функционише на исти начин као и одузимање: начин на који групишете бројеве мења количник. Размотрите 8 ÷ 2 ÷ 2. Ако оперишете (8 ÷ 2) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2С друге стране, 8 ÷ (2 ÷ 2) = 8 ÷ 1 = 8. Ово су различити резултати, стога дељење није асоцијативно.

Још један веома јасан пример је 18 ÷ 6 ÷ 3. Ако групишете са леве стране, (18 ÷ 6) ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1; ако групишете са десне стране, 18 ÷ (6 ÷ 3) = 18 ÷ 2 = 9. Као што видите, 1 и 9 дивергирају; Постављање заграда потпуно мења резултат.

Важан детаљ у вези са нотацијом и израчунавањем: када нема заграда, Ланчане дељења се решавају с лева на десноОвај критеријум избегава двосмислености и одржава стандардни редослед операција.

За шта се користи асоцијативно својство?

Асоцијативност је посебно корисна за ментално рачунање и поједностављивање дугих операција. Можете прегруписати сабираке или факторе да бисте добили „округле“ или бројеве који се лакше управљају. Укратко, Прво сакупите бројеве које желите да саберетеПри множењу, групишите чиниоце који дају једноставне међупроизводе.

На пример, у низу сабирања, ако се појаве бројеви који допуњују десетице, можете их груписати и брже сабирати. Код множења, груписање да би се добило 10, 100 или 1.000 је велика предност. Али запамтите: Ове слободе удруживања примењују се само када је операција удружујућа.То јест, сабирање и множење.

Остала повезана својства

Поред асоцијативности, у основној математици се појављују и други концепти, као што су комутативност и дистрибутивност. Комутативност указује на то да редослед чланова не мења резултат код сабирања и множења, а дистрибутивност повезује множење и сабирање. У нашем контексту, Кључно је не мешати концепте: повезивање није исто што и пермутовањеИ ниједно од ова два својства не важи за одузимање или дељење како их обично користимо.

Хајде да видимо неке примере

Да бисмо појачали концепте, прегледаћемо претходно виђене примере и додати објашњења корак по корак. Обратите пажњу на то како заграде воде израчунавање. Када је операција асоцијативна, сва груписања се поклапајуКада није тако, резултати се разликују.

Вежбе са решењима и објашњењима

Вежба отклања сумње и јача интуицију. У наставку нудимо неколико вођених вежби са њиховим резултатима како бисте сами могли да видите где се асоцијативно својство примењује, а где не. Обратите пажњу на заграде и врсту операције.

Вежба 1 (сабирање)

Проверите једнакост са a = 3, b = 18 и c = 1. Прво, група (а + б) + ц:

• (3 + 18) + 1 = 21 + 1 = 22

Сада, промените груписање на 3 + (18 + 1). Упоредите резултат:

• 3 + (18 + 1) = 3 + 19 = 22

И коначно, (3 + 1) + 18. Израчунавамо то да бисмо завршили верификацију. Укупан број утакмица:

• (3 + 1) + 18 = 4 + 18 = 22

Вежба 2 (сабирање уз визуелну подршку)

Замислите 3 + 2 + 1 као груписане плодове. Ако прво спојите 3 и 2, добићете 5, а затим додате 1. Резултат: 6.

• (3 + 2) + 1 = 5 + 1 = 6

Ако сада прво спојите 2 и 1 да бисте добили 3, а затим додате 3, такође ћете добити 6. Сабирање је асоцијативно:

• 3 + (2 + 1) = 3 + 3 = 6

Вежба 3 (множење)

Провери (2 × 3) × 4 и 2 × (3 × 4). Реши то на оба начина:

• (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24
• 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

Обе опције дају исти производ. Множење задовољава асоцијативно својство.

Вежба 4 (множење са три групе)

Нека је a = 3, b = 5, c = 10. Израчунајте три начина да то детаљно проверите. Прва група:

• (3 × 5) × 10 = 15 × 10 = 150

Друга група. Имајте на уму да се производ не мења.:

• 3 × (5 × 10) = 3 × 50 = 150

Трећа група. Иста прича: резултат остаје:

• (3 × 10) × 5 = 30 × 5 = 150

Чак и са тачкастом нотацијом уместо „x“, идеја је иста: (2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5) и 30 = 30.

Вежба 5 (неасоцијативно одузимање)

Израчунајте број 10 − 5 − 3 на два начина да бисте видели зашто одузимање није асоцијативно. Прво, група са леве стране:

• (10 − 5) − 3 = 5 − 3 = 2

Сада, група на десно. Резултат се мења:

• 10 − (5 − 3) = 10 − 2 = 8

Пошто је 2 ≠ 8, Одузимање не задовољава асоцијативно својство.

Вежба 6 (неасоцијативно дељење)

Прво поређење са 8 ÷ 2 ÷ 2. Две групе, два резултата:

• (8 ÷ 2) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2
• 8 ÷ (2 ÷ 2) = 8 ÷ 1 = 8

Друго поређење са 18 ÷ 6 ÷ 3. Разлика се поново појављује:

• (18 ÷ 6) ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1
• 18 ÷ (6 ÷ 3) = 18 ÷ 2 = 9

Запамтите: ако нема заграда, Рачуна се с лева на десно. у повезаним одељењима.

Након прегледа свих ових ситуација са бројевима и менталним сликама, централна идеја постаје јасна: Сабирање и множење омогућавају прегруписање без промене резултатаОдузимање и дељење, с друге стране, зависе од заграда и стога њихова коначна вредност може да варира. Правилна примена ових правила избегава грешке и олакшава ментално рачунање у свакодневном животу.