สมบัติการสลับที่คืออะไร: คู่มือฉบับสมบูรณ์พร้อมตัวอย่างและแบบฝึกหัด

การเริ่มต้น » เศรษฐกิจ » สมบัติการสลับที่คืออะไร: คู่มือฉบับสมบูรณ์พร้อมตัวอย่างและแบบฝึกหัด

หากคุณมีข้อสงสัยเกี่ยวกับการดำเนินการต่อเนื่องและวงเล็บ นี่คือคำแนะนำที่ชัดเจนและตรงไปตรงมาเพื่อทำความเข้าใจว่าคุณสมบัติการสลับที่คืออะไรและใช้ได้เมื่อใด โดยสรุปแล้ว หลักการจัดกลุ่มเชิงสัมพันธ์บ่งชี้ว่า วิธีการจัดกลุ่มตัวเลขไม่เปลี่ยนแปลงผลลัพธ์ ในบางการดำเนินการ คุณจะเห็นว่ามันใช้ได้กับการบวกและการคูณ แต่ใช้ไม่ได้กับการลบหรือการหาร

ก่อนที่เราจะเริ่มกัน โปรดจำไว้ว่าวงเล็บแสดงลำดับการคำนวณ แก้ส่วนที่เป็นวงเล็บก่อน แล้วค่อยแก้ส่วนที่เหลือนั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมวิธีการจัดกลุ่มสิ่งต่างๆ จึงมีความสำคัญมาก ด้วยตัวอย่างง่ายๆ และเทคนิคการมองเห็นเพียงเล็กน้อย (ผลไม้และลูกบาศก์) คุณจะเห็นได้ในทางปฏิบัติว่าการดำเนินการใดบ้างที่มีคุณสมบัติการสลับที่ และการดำเนินการใดบ้างที่ไม่มี

สมบัติการสลับที่หมายความว่าอย่างไร?

เมื่อเราพูดถึงสมบัติการจัดกลุ่ม เราหมายความว่า ถ้าเรามีตัวเลขสามตัว ผลลัพธ์จะไม่เปลี่ยนแปลงแม้ว่าเราจะจัดกลุ่มตัวเลขสองตัวแรกหรือสองตัวสุดท้ายก็ตาม ปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้นทั้งในการบวกและการคูณโดยทั่วไปแล้ว การบวกจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ (a + b) + c = a + (b + c) และการคูณจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ (a · b) · c = a · (b · c)

โปรดทราบว่า คุณสมบัติการจัดกลุ่ม (associativity) ไม่ควรสับสนกับคุณสมบัติการสลับที่ (commutativity) คุณสมบัติการสลับที่เกี่ยวข้องกับลำดับของตัวบวกหรือตัวประกอบ (ตัวอย่างเช่น a + b = b + a) ในขณะที่ คุณสมบัติการจัดกลุ่ม (associativity) เกี่ยวข้องกับลำดับของตัวบวกหรือตัวประกอบ ความสัมพันธ์เชิงสมาคมมุ่งเน้นไปที่วิธีการที่เราจัดกลุ่ม ตัวเลขในวงเล็บเหล่านั้น คือคุณสมบัติที่แตกต่างกัน แม้ว่าบางครั้งเราจะใช้มันร่วมกันเมื่อคำนวณในใจก็ตาม

เพื่อให้เข้าใจความเท่าเทียมกันที่ดูเหมือนไม่สำคัญ ลองนึกถึงสิ่งพื้นฐานง่ายๆ เช่น 10 = 10มองเผินๆ แล้วดูเหมือนจะไม่ได้เพิ่มข้อมูลอะไร แต่เป็นการเตือนเราว่า หากเราจัดลำดับและจัดกลุ่มใหม่โดยใช้คุณสมบัติที่เกี่ยวข้อง เราจะได้ค่าเดิมกลับมาหากคุณสมบัตินั้นถูกต้อง

คุณสมบัติการสลับที่ของการบวก

นอกจากนี้ ไม่สำคัญว่าคุณจะบวก a, b และ c ก่อนหรือไม่ ผลรวมก็เท่ากัน เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ดังนี้: (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + bความเท่าเทียมกันสามประการนี้แสดงให้เห็นว่าคุณสามารถจัดกลุ่มใหม่ได้หลายวิธีโดยไม่เปลี่ยนแปลงผลลัพธ์สุดท้าย

ลองพิจารณาจากค่าที่เป็นรูปธรรมกัน ถ้า a = 3, b = 18 และ c = 1 เราจะคำนวณได้ดังนี้: (3 + 18) + 1 = 21 + 1 = 22ถ้าเราจัดกลุ่มใหม่จะได้: 3 + (18 + 1) = 3 + 19 = 22 และอีกวิธีหนึ่ง: (3 + 1) + 18 = 4 + 18 = 22 อย่างที่คุณเห็น ทั้งสามกลุ่มมี 22 คน.

การใช้ภาพประกอบช่วยได้เสมอ ลองนึกภาพว่าคุณกำลังบวก 3 + 2 + 1 โดยใช้ผลไม้ ถ้าคุณรวม 3 กับ 2 ก่อน คุณจะได้ 5 แล้วจึงบวก 1 เพื่อให้ได้ ผลไม้ 6 ชิ้นถ้าหากคุณนำ 2 และ 1 มาจัดกลุ่มเพื่อให้ได้ 3 แล้วบวก 3 เข้าไป คุณก็จะได้ 6 เช่นกัน วงเล็บอาจเปลี่ยนไป แต่... ยอดรวมไม่เปลี่ยนแปลง.

คุณสมบัตินี้ทำให้การคำนวณในใจง่ายขึ้นมาก ตัวอย่างเช่น คุณสามารถจัดกลุ่มตัวเลขที่บวกกันใหม่เพื่อให้ได้หลักสิบหรือหลักร้อยที่ปัดเศษได้ แม้ว่าในที่นี้เราจะเน้นที่ 3, 18 และ 1 แต่แนวคิดนี้เป็นไปในวงกว้าง: รวบรวมตัวเลขที่ช่วยให้การคำนวณง่ายขึ้นสำหรับคุณ และผลลัพธ์จะเหมือนเดิม ตราบใดที่เราทำการบวกเท่านั้น

สมบัติการสลับที่ของการคูณ

สิ่งที่คล้ายกันนี้เกิดขึ้นกับการคูณเช่นกัน: ผลลัพธ์จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อวิธีการจัดกลุ่มตัวประกอบเปลี่ยนไป ในเชิงสัญลักษณ์ (ก × ข) × ค = ก × (ข × ค)คุณจะพบการคูณที่เขียนด้วย "x" หรือด้วยจุด "·" ซึ่งทั้งสองแบบหมายถึงสิ่งเดียวกัน

ทดสอบอย่างรวดเร็ว: คำนวณ (2 × 3) × 4 แล้วจึงคำนวณ 2 × (3 × 4) ก่อนอื่น (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24ประการที่สอง 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24 ทั้งสองเส้นทางนำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกัน

สมบูรณ์ยิ่งขึ้นไปอีก: ถ้า a = 3, b = 5 และ c = 10 แล้ว (3 × 5) × 10 = 15 × 10 = 150ในขณะที่ 3 × (5 × 10) = 3 × 50 = 150 แม้ว่าเราจะจัดกลุ่มเป็น (3 × 10) × 5 = 30 × 5 = 150 เราก็ยังได้ 150 อยู่ดี เราเปลี่ยนวงเล็บ ผลลัพธ์ยังคงอยู่.

อีกหนึ่งตัวอย่างคลาสสิกที่ใช้จุดแทนเครื่องหมาย “x” ช่วยตอกย้ำแนวคิดนี้: (2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5)ทางซ้าย 6 · 5 = 30; ทางขวา 2 · 15 = 30 ในทั้งสองกรณี 30 = 30 ซึ่งแสดงให้เห็นว่า วิธีการจัดกลุ่มในการคูณไม่ทำให้ผลลัพธ์เปลี่ยนแปลงไป.

ตัวอย่างภาพประกอบโดยใช้ลูกบาศก์

ลองนึกภาพโครงสร้างของลูกบาศก์ที่เรียงกันเป็นแถวและคอลัมน์ มีลูกบาศก์ทั้งหมด 24 ลูก วิธีหนึ่งในการนับคือการดูที่คอลัมน์: มีลูกบาศก์ 3 ลูกต่อ 2 ระดับ นั่นคือ 3 × 2 = 6 ลูกบาศก์ต่อแถวถ้ามี 4 คอลัมน์ จะได้ 6 × 4 = 24

อีกกลยุทธ์หนึ่งคือการเริ่มต้นด้วยแถวเดียว: คุณสังเกตลูกบาศก์ 4 ลูกใน 2 ระดับ ซึ่งเทียบเท่ากับ 4 × 2 = 8 ลูกบาศก์ต่อแถวถ้าเรานับ 3 แถว จะได้ 8 × 3 = 24 ถึงแม้ว่าเราจะจัดกลุ่มปัจจัยแตกต่างกันไปตามโครงสร้าง (คอลัมน์แรกแล้วตามด้วยจำนวนคอลัมน์ทั้งหมด หรือแถวแรกแล้วตามด้วยจำนวนแถวทั้งหมด) จำนวนตรงกัน.

การแสดงผลในรูปแบบนี้ช่วยให้เห็นได้อย่างชัดเจนว่าทำไมการคูณจึงมีคุณสมบัติการสลับที่ คุณสามารถจัดกลุ่มตัวประกอบใหม่ตามแถว คอลัมน์ หรือระดับได้ และจำนวนรวมจะไม่เปลี่ยนแปลง การศึกษาคณิตศาสตร์, ภาพประกอบเหล่านี้ช่วยเสริมสร้างความเข้าใจในเชิงแนวคิด นอกเหนือจากการคำนวณอัตโนมัติ

เหตุใดการลบจึงไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่

การลบมีพฤติกรรมที่แตกต่างออกไป ในกรณีนี้ การจัดกลุ่มมีความสำคัญ ลองพิจารณากรณีของ 10 − 5 − 3 หากคุณคำนวณ (10 − 5) − 3 = 5 − 3 = 2แต่ถ้าคุณทำ 10 − (5 − 3) = 10 − 2 = 8 ผลลัพธ์จะเปลี่ยนไป ดังนั้น การลบไม่เป็นไปตามคุณสมบัติการสลับที่.

ความแตกต่างนี้เกิดขึ้นเนื่องจากการลบนั้นโดยโครงสร้างแล้วไม่ใช่กระบวนการ "บวก" ที่สมมาตร เมื่อคุณเปิดวงเล็บในการลบ คุณกำลังแก้ไขค่าที่ถูกลบออก ดังนั้น ผลลัพธ์จึงแตกต่างกันไป การเคารพวงเล็บเมื่อทำการลบนั้นสำคัญมากเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด

เหตุใดการหารจึงไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่เช่นกัน

การหารทำงานในลักษณะเดียวกับการลบ: วิธีที่คุณจัดกลุ่มตัวเลขจะเปลี่ยนผลลัพธ์ ลองพิจารณา 8 ÷ 2 ÷ 2 ถ้าคุณดำเนินการ (8 ÷ 2) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2ในทางกลับกัน 8 ÷ (2 ÷ 2) = 8 ÷ 1 = 8 ผลลัพธ์ที่ได้แตกต่างกัน ดังนั้นการหารจึงไม่เป็นไปตามคุณสมบัติการสลับที่

อีกตัวอย่างที่ชัดเจนมากคือ 18 ÷ 6 ÷ 3 ถ้าคุณจัดกลุ่มทางด้านซ้าย (18 ÷ 6) ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1; ถ้าคุณจัดกลุ่มทางด้านขวา 18 ÷ (6 ÷ 3) = 18 ÷ 2 = 9 อย่างที่คุณเห็น 1 และ 9 แตกต่างกัน ตำแหน่งของวงเล็บเปลี่ยนผลลัพธ์ไปโดยสิ้นเชิง.

รายละเอียดสำคัญเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณ์และการคำนวณ: เมื่อไม่มีวงเล็บ การหารแบบต่อเนื่องจะแก้จากซ้ายไปขวาเกณฑ์นี้ช่วยหลีกเลี่ยงความคลุมเครือและรักษาลำดับขั้นตอนการดำเนินงานที่เป็นมาตรฐานไว้

สมบัติการสลับที่ใช้เพื่ออะไร?

สมบัติการสลับที่นั้นมีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการคำนวณในใจและการทำให้การคำนวณที่ซับซ้อนง่ายขึ้น คุณสามารถจัดกลุ่มตัวเลขที่บวกกันหรือตัวประกอบใหม่เพื่อให้ได้ตัวเลขที่ "กลม" หรือจัดการได้ง่ายขึ้น กล่าวโดยสรุป รวบรวมตัวเลขที่คุณต้องการบวกก่อนในการคูณ ให้จัดกลุ่มตัวประกอบที่ให้ผลคูณขั้นกลางได้ง่าย

ตัวอย่างเช่น ในการบวกเลขหลายๆ ครั้ง หากมีตัวเลขที่ครบสิบ คุณสามารถจัดกลุ่มตัวเลขเหล่านั้นเข้าด้วยกันและบวกได้เร็วขึ้น ส่วนในการคูณ การจัดกลุ่มเพื่อให้ได้ 10, 100 หรือ 1,000 นั้นเป็นข้อได้เปรียบอย่างมาก แต่จำไว้ว่า: เสรีภาพในการรวมกลุ่มเหล่านี้จะใช้ได้เฉพาะเมื่อการดำเนินงานนั้นเป็นไปในลักษณะของการรวมกลุ่มเท่านั้นกล่าวคือ ในการบวกและการคูณ

คุณสมบัติอื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง

นอกจากคุณสมบัติการสลับที่แล้ว ยังมีแนวคิดอื่นๆ ที่ปรากฏในเลขคณิตพื้นฐาน เช่น คุณสมบัติการสลับที่และการแจกแจง คุณสมบัติการสลับที่บ่งชี้ว่าลำดับของพจน์ไม่เปลี่ยนแปลงผลลัพธ์ในการบวกและการคูณ และคุณสมบัติการแจกแจงเชื่อมโยงการคูณและการบวก ในบริบทของเรา สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนระหว่างแนวคิดต่างๆ การเชื่อมโยงไม่เหมือนกับการเรียงสับเปลี่ยนและคุณสมบัติทั้งสองข้อนี้ใช้ไม่ได้กับการลบหรือการหารที่เราใช้กันโดยทั่วไป

มาดูตัวอย่างกัน

เพื่อเสริมความเข้าใจในแนวคิด เราจะทบทวนตัวอย่างที่เคยเรียนมาแล้ว พร้อมอธิบายทีละขั้นตอน สังเกตว่าวงเล็บช่วยกำหนดวิธีการคำนวณอย่างไร เมื่อการดำเนินการเป็นแบบสมาคม การจัดกลุ่มทั้งหมดจะตรงกันหากไม่เป็นเช่นนั้น ผลลัพธ์ก็จะแตกต่างออกไป

แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยและคำอธิบาย

การฝึกฝนช่วยขจัดข้อสงสัยและเสริมสร้างสัญชาตญาณ ด้านล่างนี้ เราได้นำเสนอแบบฝึกหัดพร้อมคำแนะนำและผลลัพธ์ เพื่อให้คุณได้เห็นด้วยตนเองว่าคุณสมบัติการสลับที่นั้นใช้ได้ในกรณีใดและใช้ไม่ได้ในกรณีใด โปรดสังเกตวงเล็บและประเภทของการดำเนินการ.

แบบฝึกหัดที่ 1 (การบวก)

ตรวจสอบความเท่าเทียมกันโดยใช้ค่า a = 3, b = 18 และ c = 1 ขั้นแรก กลุ่ม (a + b) + c:

• (3 + 18) + 1 = 21 + 1 = 22

ทีนี้ ให้เปลี่ยนการจัดกลุ่มเป็น 3 + (18 + 1) เปรียบเทียบผลลัพธ์:

• 3 + (18 + 1) = 3 + 19 = 22

และสุดท้าย (3 + 1) + 18 เราคำนวณเพื่อทำการตรวจสอบให้เสร็จสมบูรณ์ จำนวนแมตช์ทั้งหมด:

• (3 + 1) + 18 = 4 + 18 = 22

แบบฝึกหัดที่ 2 (การบวกโดยใช้ภาพประกอบ)

ลองนึกภาพ 3 + 2 + 1 เป็นกลุ่มผลไม้ ถ้าคุณนำ 3 กับ 2 มารวมกันก่อน จะได้ 5 แล้วค่อยบวก 1 เข้าไป ผลลัพธ์: 6.

• (3 + 2) + 1 = 5 + 1 = 6

ถ้าคุณนำ 2 และ 1 มารวมกันก่อนเพื่อให้ได้ 3 แล้วจึงบวก 3 เข้าไป คุณก็จะได้ 6 เช่นกัน การบวกเป็นความสัมพันธ์แบบสมาคม:

• 3 + (2 + 1) = 3 + 3 = 6

แบบฝึกหัดที่ 3 (การคูณ)

ตรวจสอบ (2 × 3) × 4 และ 2 × (3 × 4) แก้ปัญหาได้ทั้งสองวิธี:

• (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24
• 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

ทั้งสองวิธีให้ผลลัพธ์เหมือนกัน การคูณเป็นไปตามคุณสมบัติการสลับที่.

แบบฝึกหัดที่ 4 (การคูณด้วยสามกลุ่ม)

กำหนดให้ a = 3, b = 5, c = 10 จงคำนวณวิธีตรวจสอบทั้งสามวิธีโดยละเอียด กลุ่มแรก:

• (3 × 5) × 10 = 15 × 10 = 150

กลุ่มที่สอง โปรดทราบว่าตัวผลิตภัณฑ์ไม่เปลี่ยนแปลง:

• 3 × (5 × 10) = 3 × 50 = 150

กลุ่มที่สาม เรื่องราวเดียวกัน: ผลลัพธ์ยังคงอยู่:

• (3 × 10) × 5 = 30 × 5 = 150

แม้จะใช้จุดแทนตัว “x” หลักการก็ยังคงเหมือนเดิม: (2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5) และ 30 = 30

แบบฝึกหัดที่ 5 (การลบแบบไม่สัมพันธ์กัน)

จงประเมินค่า 10 − 5 − 3 ด้วยสองวิธี เพื่อดูว่าเหตุใดการลบจึงไม่เป็นไปตามคุณสมบัติการสลับที่ อันดับแรก กลุ่มทางด้านซ้าย:

• (10 − 5) − 3 = 5 − 3 = 2

ทีนี้ ให้รวมกลุ่มไปทางขวา ผลลัพธ์เปลี่ยนแปลงไป:

• 10 − (5 − 3) = 10 − 2 = 8

เนื่องจาก 2 ≠ 8, การลบไม่เป็นไปตามคุณสมบัติการสลับที่.

แบบฝึกหัดที่ 6 (การหารแบบไม่สัมพันธ์กัน)

เปรียบเทียบครั้งแรกกับ 8 ÷ 2 ÷ 2 สองกลุ่ม สองผลลัพธ์:

• (8 ÷ 2) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2
• 8 ÷ (2 ÷ 2) = 8 ÷ 1 = 8

การเปรียบเทียบครั้งที่สองกับ 18 ÷ 6 ÷ 3 ความแตกต่างปรากฏขึ้นอีกครั้ง:

• (18 ÷ 6) ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1
• 18 ÷ (6 ÷ 3) = 18 ÷ 2 = 9

โปรดจำไว้: หากไม่มีวงเล็บ คำนวณจากซ้ายไปขวา ในแผนกที่เชื่อมโยงกัน

หลังจากทบทวนสถานการณ์ทั้งหมดเหล่านี้ด้วยตัวเลขและภาพในความคิดแล้ว แนวคิดหลักก็ชัดเจนขึ้น: การบวกและการคูณอนุญาตให้มีการจัดกลุ่มใหม่โดยไม่เปลี่ยนแปลงผลลัพธ์ในทางกลับกัน การลบและการหารขึ้นอยู่กับวงเล็บ ดังนั้นค่าสุดท้ายจึงอาจแตกต่างกัน การใช้กฎเหล่านี้อย่างถูกต้องจะช่วยหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณในใจง่ายขึ้นในชีวิตประจำวัน