Ano ang katangiang pang-ugnay: isang malinaw na gabay na may mga halimbawa at pagsasanay

pagtanggap sa bagong kasapi » Kabuhayan » Ano ang katangiang pang-ugnay: isang malinaw na gabay na may mga halimbawa at pagsasanay

Kung mayroon kang anumang mga katanungan tungkol sa mga chained operation at panaklong, narito ang isang malinaw at direktang gabay sa pag-unawa kung ano ang associative property at kung kailan ito naaangkop. Sa madaling salita, Ipinapahiwatig ng asositibidad na ang paraan ng pagpapangkat ng mga numero ay hindi nagbabago sa resulta. sa ilang partikular na operasyon. Makikita mo na gumagana ito sa pagdaragdag at pagpaparami, ngunit hindi sa pagbabawas o paghahati.

Bago tayo magsimula sa usapin, tandaan na ang mga panaklong ay nagpapahiwatig ng pagkakasunud-sunod ng pagkalkula. Unahin mong lutasin ang mga panaklong at pagkatapos ay ang iba paKaya naman napakahalaga ng paraan ng pagpapangkat-pangkat mo ng mga bagay-bagay. Gamit ang mga simpleng halimbawa at ilang biswal na trick (mga prutas at cube), makikita mo sa praktikal na paraan kung aling mga operasyon ang asosyatif at alin ang hindi.

Ano ang ibig sabihin ng asosasyong ari-arian?

Kapag pinag-uusapan natin ang tungkol sa asosiativity, ang ibig nating sabihin ay kung mayroon tayong tatlong numero, ang resulta ay hindi magbabago kahit na ipangkat natin ang unang dalawa o ang huling dalawa. Nangyayari ito sa pagdaragdag at pagpaparami.Sa pangkalahatang notasyon, ang pagdaragdag ay ipinapahayag bilang (a + b) + c = a + (b + c), at ang pagpaparami bilang (a · b) · c = a · (b · c).

Tandaan na ang asosiattibidad ay hindi dapat ipagkamali sa komutattibidad. Ang komutattibidad ay tumatalakay sa pagkakasunud-sunod ng mga addend o salik (halimbawa, a + b = b + a), habang Ang asosasyon ay nakatuon sa kung paano tayo nagpapangkat-pangkat Ang mga numerong nasa loob ng panaklong. Magkaiba ang mga katangian ng mga ito, bagama't kung minsan ay ginagamit natin ang mga ito nang magkasama kapag nagkakalkula sa ating isipan.

Para maunawaan ang isang maliit na pagkakapantay-pantay, isipin ang isang bagay na kasingsimple ng 10 = 10Sa unang tingin, hindi ito nagdaragdag ng anumang impormasyon, ngunit ipinapaalala nito sa atin na, sa pamamagitan ng muling pagsasaayos at pagpapangkat gamit ang mga kaukulang katangian, babalik tayo sa parehong halaga kung ang katangian ay wasto.

Katangiang pang-ugnay ng pagdaragdag

Bukod pa rito, hindi mahalaga kung idagdag mo muna ang a, b, at c; pareho lang ang kabuuan. Sa notasyon: (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + bItinatampok ng triple equality na ito na maaari kang muling magpangkat sa iba't ibang paraan nang hindi binabago ang huling resulta.

Tingnan natin ito gamit ang mga konkretong halaga. Kung ang a = 3, b = 18 at c = 1, ating kakalkulahin: (3 + 18) + 1 = 21 + 1 = 22Kung iba ang pagkakagrupo natin sa kanila: 3 + (18 + 1) = 3 + 19 = 22. At isa pang paraan: (3 + 1) + 18 = 4 + 18 = 22. Gaya ng nakikita mo, Ang tatlong grupo ay may 22.

Ang isang visual aid ay laging nakakatulong. Isipin mong nagdadagdag ka ng 3 + 2 + 1 gamit ang prutas. Kung una mong pangkatin ang 3 at 2, makakakuha ka ng 5, at pagkatapos ay magdadagdag ng 1 para makuha 6 na piraso ng prutasKung, sa halip, igrupo mo ang 2 at 1 para makakuha ng 3, at pagkatapos ay dagdagan ng 3, makukuha mo rin ang 6. Magbabago ang mga panaklong, ngunit hindi nagbabago ang kabuuan.

Mas pinapadali ng katangiang ito ang mga kalkulasyon sa isip. Halimbawa, maaari mong muling pangkatin ang mga addend upang makarating sa pagbilog ng sampu o sandaan. Bagama't nakatuon tayo sa 3, 18, at 1 dito, ang ideya ay pangkalahatan: Tipunin ang mga numerong magpapasimple sa kalkulasyon para sa iyo at ang resulta ay magiging pareho, basta't nagdadagdag lamang tayo.

Katangiang pang-ugnay ng pagpaparami

May katulad na nangyayari sa multiplikasyon: ang produkto ay hindi nagbabago kapag nagbago ang paraan ng pagpapangkat ng mga salik. Sa mga simbolo, (a × b) × c = a × (b × c)Makakakita ka ng multiplikasyon na nakasulat gamit ang "x" o may tuldok na "·"; parehong nagpapahiwatig ng parehong bagay.

Mabilisang pagsubok: kalkulahin ang (2 × 3) × 4 at pagkatapos ay 2 × (3 × 4). Una, (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24Pangalawa, 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24. Parehong landas ang patungo sa iisang produkto.

Mas kumpleto pa: kung a = 3, b = 5 at c = 10, kung gayon (3 × 5) × 10 = 15 × 10 = 150, habang 3 × (5 × 10) = 3 × 50 = 150. Kahit na i-grupo natin bilang (3 × 10) × 5 = 30 × 5 = 150, makukuha pa rin natin ang 150. Binago natin ang mga panaklong, nananatili ang resulta.

Ang isa pang klasikong halimbawa na may tuldok sa halip na "x" ay nagpapatibay sa ideya: (2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5)Sa kaliwa, 6 · 5 = 30; sa kanan, 2 · 15 = 30. Sa parehong kaso, 30 = 30, na nagpapakita na Ang paraan ng pagpapangkat sa mga multiplikasyon ay hindi nagbabago sa produkto.

Isang biswal na halimbawa gamit ang mga cube

Isipin ang isang istruktura ng mga kubo na nakaayos sa mga hilera at hanay. Mayroong 24 na kubo sa kabuuan. Ang isang paraan upang mabilang ang mga ito ay ang pagtingin sa isang hanay: mayroong 3 kubo bawat 2 antas, ibig sabihin, 3 × 2 = 6 na kubo bawat haligiKung mayroong 4 na kolum, 6 × 4 = 24.

Ang isa pang estratehiya ay magsimula sa isang hanay: makakakita ka ng 4 na kubo na may 2 antas, na katumbas ng 4 × 2 = 8 kubo bawat hileraKung bibilang tayo ng 3 hanay, 8 × 3 = 24. Bagama't iba-iba nating pinagsama-sama ang mga salik ayon sa istruktura (unang hanay at pagkatapos ay ang kabuuang hanay, o unang hanay at pagkatapos ay ang kabuuang hanay), tumutugma ang bilang.

Ang mga ganitong uri ng representasyon ay nakakatulong upang malinaw na makita kung bakit ang multiplikasyon ay asositibo. Maaari mong muling ipangkat ang mga salik ayon sa mga hilera, kolum, o antas, at ang kabuuang bilang ay hindi magbabago. edukasyon sa matematika, Ang mga visual breakdown na ito ay nagpapatibay sa konseptwal na pag-unawa lampas sa awtomatikong kalkulasyon.

Bakit hindi asosasyon ang pagbabawas

Iba ang kilos ng pagbabawas. Dito, mahalaga ang pagpapangkat. Obserbahan ang kaso ng 10 − 5 − 3. Kung kakalkulahin mo (10 − 5) − 3 = 5 − 3 = 2Ngunit kung gagawin mo ang 10 − (5 − 3) = 10 − 2 = 8, magbabago ang resulta. Samakatuwid, Ang pagbabawas ay hindi nakakatugon sa katangiang pang-uugnay.

Ang pagkakaibang ito ay lumilitaw dahil ang pagbabawas, sa estruktura, ay hindi isang simetrikong proseso ng "pagdaragdag". Kapag binuksan mo ang panaklong sa isang pagbabawas, Binabago mo ang halagang ibinawas. Samakatuwid, ang resulta ay nag-iiba. Mahalagang igalang ang mga panaklong kapag nagbabawas upang maiwasan ang mga pagkakamali.

Bakit ang paghahati ay hindi rin asosyatif

Ang paghahati ay gumagana sa parehong paraan tulad ng pagbabawas: ang paraan ng pagpapangkat mo ng mga numero ay nagbabago sa quotient. Isaalang-alang ang 8 ÷ 2 ÷ 2. Kung kikilos ka (8 ÷ 2) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2Sa kabilang banda, 8 ÷ (2 ÷ 2) = 8 ÷ 1 = 8. Magkaiba ang mga resultang ito, samakatuwid ang paghahati ay hindi asosyative.

Isa pang napakalinaw na halimbawa ay 18 ÷ 6 ÷ 3. Kung igrupo mo sa kaliwa, (18 ÷ 6) ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1; kung igrupo mo sa kanan, 18 ÷ (6 ÷ 3) = 18 ÷ 2 = 9. Gaya ng nakikita mo, ang 1 at 9 ay naghihiwalay; Ang pagkakalagay ng mga panaklong ay ganap na nagbabago sa resulta.

Isang mahalagang detalye tungkol sa notasyon at kalkulasyon: kapag walang panaklong, Ang mga nakadena na dibisyon ay nilulutas mula kaliwa pakananIniiwasan ng pamantayang ito ang mga kalabuan at pinapanatili ang karaniwang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon.

Para saan ginagamit ang katangiang pang-ugnay?

Ang asosasyon ay lalong kapaki-pakinabang para sa mental na kalkulasyon at pagpapasimple ng mahahabang operasyon. Maaari mong muling pangkatin ang mga addend o salik upang makakuha ng mga "bilog" o mas madaling pamahalaang mga numero. Sa madaling salita, Unahin ang mga numerong gusto mong idagdagSa multiplikasyon, pinapangkat ang mga salik na nagbubunga ng mga madaling intermediate product.

Halimbawa, sa isang pagkakasunod-sunod ng mga pagdaragdag, kung ang mga numero ay lumalabas na nakakakumpleto ng mga sampu, maaari mo itong pangkatin at mas mabilis na idagdag. Sa mga multiplikasyon, ang pagpapangkat upang makakuha ng 10, 100, o 1,000 ay isang malaking kalamangan. Ngunit tandaan: Ang mga kalayaang ito sa pagsasamahan ay nalalapat lamang kapag ang operasyon ay kaugnay.Iyon ay, bilang karagdagan at pagpaparami.

Iba pang kaugnay na mga ari-arian

Bukod sa asositibidad, may iba pang mga konsepto na lumilitaw sa pangunahing aritmetika, tulad ng commutativity at distributivity. Ipinapahiwatig ng commutativity na ang pagkakasunud-sunod ng mga termino ay hindi nagbabago sa resulta sa pagdaragdag at pagpaparami, at ang distributivity ay nag-uugnay sa pagpaparami at pagdaragdag. Sa ating konteksto, Ang mahalagang bagay ay huwag paghaluin ang mga konsepto: ang pag-uugnay ay hindi katulad ng pagbabago-bago ng anyoAt wala sa dalawang katangiang ito ang totoo para sa pagbabawas o paghahati gaya ng karaniwan nating ginagamit.

Tingnan natin ang ilang halimbawa

Upang mapalakas ang mga konsepto, susuriin natin ang mga halimbawang nakita na natin noon at magdaragdag ng sunud-sunod na mga paliwanag. Pansinin kung paano ginagabayan ng mga panaklong ang pagkalkula. Kapag ang operasyon ay asosibo, lahat ng pagpapangkat ay magkakasabayKapag hindi, magkakaiba ang mga resulta.

Mga pagsasanay na may mga solusyon at paliwanag

Nililinaw ng pagsasanay ang mga pagdududa at pinapalakas ang intuwisyon. Sa ibaba, nag-aalok kami ng ilang gabay na pagsasanay kasama ang mga resulta nito upang makita mo mismo kung saan naaangkop ang katangiang kaugnay at kung saan hindi. Bigyang-pansin ang mga panaklong at ang uri ng operasyon.

Pagsasanay 1 (karagdagan)

Suriin ang pagkakapantay-pantay kung saan ang a = 3, b = 18 at c = 1. Una, grupo (a + b) + c:

• (3 + 18) + 1 = 21 + 1 = 22

Ngayon, baguhin ang pagpapangkat sa 3 + (18 + 1). Ihambing ang resulta:

• 3 + (18 + 1) = 3 + 19 = 22

At panghuli, (3 + 1) + 18. Kakalkulahin natin ito upang makumpleto ang beripikasyon. Ang kabuuang mga tugma:

• (3 + 1) + 18 = 4 + 18 = 22

Pagsasanay 2 (pagdaragdag na may biswal na suporta)

Isipin ang 3 + 2 + 1 bilang mga prutas na nakapangkat. Kung una mong pagsasamahin ang 3 at 2, makakakuha ka ng 5, at pagkatapos ay magdadagdag ka ng 1. Resulta: 6.

• (3 + 2) + 1 = 5 + 1 = 6

Kung pagsasamahin mo muna ang 2 at 1 para mabuo ang 3, at pagkatapos ay idadagdag ang 3, makukuha mo rin ang 6. Ang pagdaragdag ay nag-uugnay:

• 3 + (2 + 1) = 3 + 3 = 6

Pagsasanay 3 (pagpaparami)

Suriin ang (2 × 3) × 4 at 2 × (3 × 4). Lutasin ito sa magkabilang paraan:

• (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24
• 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

Ang parehong mga opsyon ay nagbubunga ng parehong produkto. Natutugunan ng multiplikasyon ang katangiang nag-uugnay.

Pagsasanay 4 (pagpaparami gamit ang tatlong grupo)

Hayaang a = 3, b = 5, c = 10. Kalkulahin ang tatlong paraan upang mapatunayan ito nang detalyado. Unang grupo:

• (3 × 5) × 10 = 15 × 10 = 150

Pangalawang grupo. Tandaan na ang produkto ay hindi nagbabago.:

• 3 × (5 × 10) = 3 × 50 = 150

Pangatlong grupo. Parehong kwento: nananatili ang resulta:

• (3 × 10) × 5 = 30 × 5 = 150

Kahit na may tuldok na notasyon sa halip na "x", pareho pa rin ang ideya: (2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5) at 30 = 30.

Pagsasanay 5 (pagbabawas na hindi nauugnay)

Suriin ang 10 − 5 − 3 sa dalawang paraan upang makita kung bakit ang pagbabawas ay hindi asosyative. Una, grupo sa kaliwa:

• (10 − 5) − 3 = 5 − 3 = 2

Ngayon, grupo kayo sa kanan. Nagbabago ang resulta:

• 10 − (5 − 3) = 10 − 2 = 8

Dahil 2 ≠ 8, Ang pagbabawas ay hindi nakakatugon sa katangiang pang-uugnay.

Pagsasanay 6 (di-kaugnay na paghahati)

Unang paghahambing sa 8 ÷ 2 ÷ 2. Dalawang grupo, dalawang resulta:

• (8 ÷ 2) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2
• 8 ÷ (2 ÷ 2) = 8 ÷ 1 = 8

Pangalawang paghahambing sa 18 ÷ 6 ÷ 3. Muling lumilitaw ang pagkakaiba:

• (18 ÷ 6) ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1
• 18 ÷ (6 ÷ 3) = 18 ÷ 2 = 9

Tandaan: kung walang panaklong, Ito ay kinakalkula mula kaliwa hanggang kanan. sa magkakaugnay na mga dibisyon.

Matapos suriin ang lahat ng mga sitwasyong ito gamit ang mga numero at mga imahe sa isipan, nagiging malinaw ang pangunahing ideya: Ang pagdaragdag at pagpaparami ay nagpapahintulot sa muling pagpapangkat nang hindi binabago ang resultaSa kabilang banda, ang pagbabawas at paghahati ay nakadepende sa mga panaklong, at samakatuwid ang kanilang pangwakas na halaga ay maaaring mag-iba. Ang wastong paglalapat ng mga patakarang ito ay nakakaiwas sa mga pagkakamali at nagpapadali sa pagkalkula sa isip sa pang-araw-araw na buhay.