Tối ưu Pareto: định nghĩa, cách đo lường và các ví dụ điển hình.

TRANG CHỦ » Kinh tế » Tối ưu Pareto: định nghĩa, cách đo lường và các ví dụ điển hình.

Khi kinh tế học hoặc tối ưu hóa đề cập đến tính hiệu quả của một tình huống, nhiều người thường nghĩ đến lựa chọn tốt nhất có thể cho tất cả mọi người. Tuy nhiên, Tối ưu Pareto Nó tập trung vào một ý tưởng khác: một trạng thái mà tại đó không còn khả năng cải thiện hạnh phúc của một người mà không làm xấu đi hạnh phúc của người khác. Đây là một tiêu chí mạnh mẽ, được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết trò chơi và ra quyết định đa mục tiêu, nhưng nó cũng là... tối giản có chủ ýNó không nói gì về công lý, sự phân phối hay sự công bằng.

Trên thực tế, tối ưu Pareto không đảm bảo sự phân bổ nguồn lực "đẹp mắt". Phân bổ 10-0 có thể hiệu quả tương đương với phân bổ 5-5 nếu không có cách nào để tăng phúc lợi của cá nhân. không gây hại với người khác. Sắc thái này mở ra những cuộc tranh luận quan trọng: chúng ta làm gì với sự công bằng? Làm thế nào để tích hợp đạo đức vào phân tích? Xuyên suốt văn bản, bạn sẽ thấy định nghĩa chính thức, các ví dụ đồ họa và đời thường (như ví dụ kinh điển về ô tô hoặc phân phối xe tải), các mối liên hệ với... kinh tế phúc lợi, những lời chỉ trích (Sen, Arrow, Lerner) và mối liên hệ của chúng với trạng thái cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi.

Vậy "tối ưu" theo nghĩa Pareto nghĩa là gì?

Trong một bài toán có nhiều mục tiêu (tối thiểu hóa chi phí và thời gian, hoặc tối đa hóa hiệu suất và chất lượng), lời giải được gọi là... Tối ưu Pareto Nếu không có giải pháp nào khác cải thiện được ít nhất một trong các mục tiêu mà không làm xấu đi bất kỳ mục tiêu nào khác. Trong thuật ngữ tối ưu hóa, một giải pháp A “ưu việt” một giải pháp B nếu A bằng hoặc tốt hơn A ở tất cả các tiêu chí và tốt hơn hẳn ở ít nhất một tiêu chí; do đó, một điểm được gọi là tối ưu Pareto khi nó không bị bất kỳ điểm nào khác chi phối. Tập hợp các giải pháp không bị chi phối tạo thành… Mặt trước Pareto (hay tập hợp Pareto), và nó thường không phải là duy nhất: đó là toàn bộ "ranh giới" của các trao đổi hiệu quả giữa các mục tiêu xung đột.

Một cách chính thức và đơn giản: cho một vectơ kết quả u = (u1, …, uk) và một vectơ khác v = (v1, …, vk), ta nói rằng u trội hơn av nếu với mọi i, u_i ≤ v_i đúng, và cũng tồn tại ít nhất một chỉ số i0 sao cho u_{i0} < v_{i0} trong các bài toán về sự giảm thiểuTheo quy tắc này Sự ưu thế ParetoMột giải pháp x* được gọi là tối ưu Pareto nếu không có giải pháp x nào khác với f(x) vượt trội hơn af(x*). Nói một cách đơn giản: không có cách nào để cải thiện một mục tiêu mà không có hư hỏng Từng cái một.

Tầm nhìn này bắt nguồn từ kinh tế học và từ cuộc thảo luận về... hiệu quả kinh tế Nhưng nó được hệ thống hóa mạnh mẽ trong nghiên cứu vận hành, cho phép thực hiện các công việc nghiêm ngặt với nhiều mục tiêu. Đó là lý do tại sao bạn sẽ thấy nó trong tối ưu hóa đa mục tiêu, phân tích chi phí-lợi ích, và ngày càng phổ biến hơn, ngay cả trong các kỹ thuật như... Tối ưu hóa Bayesian Khi bạn phải thương lượng giữa nhiều chỉ số khác nhau.

Đường Pareto trông như thế nào và đồ thị thể hiện điều gì?

Hãy tưởng tượng một hàm có hai mục tiêu, ví dụ, tối thiểu hóa thời gian và tối thiểu hóa chi phí. Nếu ta biểu diễn hình ảnh của nó (các tổ hợp có thể đạt được) như một vùng T, thì phần "biên" của vùng đó, nơi mà bạn không thể đồng thời cải thiện cả hai mục tiêu, chính là phần mà bạn không thể cải thiện cả hai mục tiêu cùng một lúc. Mặt trước ParetoBất kỳ điểm nào nằm bên trong T đều tụt lại phía sau: di chuyển về phía trước mang lại một lựa chọn khác, vừa duy trì mục tiêu này vừa cải thiện mục tiêu kia. Tuy nhiên, giữa hai điểm trên chính mặt trận, không có sự chi phối lẫn nhau: nếu một điểm cải thiện mục tiêu thứ nhất, điểm kia cũng sẽ được cải thiện. với chi phí để làm cho tình huống thứ hai trở nên tồi tệ hơn.

Hãy hình dung như thế này (không cần công thức): lấy bất kỳ điểm nào bên trong (p3). Chiếu điểm đó theo chiều dọc về phía trước, ta sẽ có một điểm trên mặt trước (p1) có cùng giá trị cho một mục tiêu và giá trị tốt hơn cho mục tiêu còn lại. Nếu so sánh hai điểm trên chính mặt trước (p1 và p2), ta sẽ thấy rằng "thắng" ở mục tiêu thứ nhất đồng nghĩa với "thua" ở mục tiêu thứ hai. Sự căng thẳng đó chính là bản chất của sự đánh đổi. đánh đổi Tiêu chí Pareto thể hiện rất rõ điều này.

Ví dụ thường ngày: ô tô, giao hàng và hộp Edgeworth.

Hãy lấy ví dụ về việc mua một chiếc xe hơi. Nếu ngân sách không phải là vấn đề, bạn chỉ tập trung vào hiệu suất: đó sẽ là một vấn đề đơn mục tiêu. Nhưng nếu bạn có ngân sách eo hẹp, bạn sẽ so sánh hiệu suất và giá cả. Xe nào là tốt nhất? Trên thực tế, có một tập hợp các lựa chọn "tốt nhất", đó là... Tập hợp ParetoTừ những chiếc xe thể thao hiệu suất cao, giá đắt đỏ đến những chiếc xe đa dụng giá rẻ, công suất thấp hơn. Không có loại nào vượt trội hơn loại kia vì việc cải thiện hiệu suất thường... làm đắt hơn Giá cả là một yếu tố quan trọng, và việc giảm giá đồng nghĩa với việc phải cắt giảm một số tính năng. Sự lựa chọn cuối cùng sẽ phụ thuộc vào sở thích cụ thể của bạn (gia đình, không gian, chi phí bảo trì, hình ảnh, v.v.).

Một ví dụ kinh điển khác là việc chia 20 xe tải cho hai công ty. Có 21 cách phân bổ khả thi (0-20, 1-19, …, 20-0). Nhiều cách trong số này đạt hiệu quả Pareto: nếu bạn cố gắng cải thiện sự phân bổ của một công ty, công ty kia nhất thiết cũng sẽ cải thiện theo. nhớ xe tải. Lưu ý rằng phân bổ 10-10 có vẻ "công bằng" hơn, nhưng 12-8 cũng có thể là tối ưu Pareto nếu không có cách nào tăng số lượng xe trong một loại mà không giảm số lượng trong loại khác. Tuy nhiên, chỉ phân bổ 19 (10-9) sẽ không hiệu quả, vì điều đó sẽ để lại một xe tải không được phân bổ, điều này sẽ cho phép một xe được cải thiện mà không gây hại cho xe khác.

Với hai cá nhân (f1 và f2) và một lượng hàng hóa cần phân phối, ta có thể nói về các điểm như P1 (nhiều hơn cho f1 so với f2) hoặc P2 (ngược lại). Nếu cả hai điểm đều sử dụng hết hàng hóa có sẵn, bất kỳ sự di chuyển nào từ P1 đến P2 hoặc từ P2 đến P1 đều cải thiện điểm này và làm xấu điểm kia, vì vậy cả hai đều có thể được sử dụng hết. Tối ưu ParetoCác điểm dưới đây không hiệu quả vì chúng không sử dụng hết tất cả các nguồn lực; và các điểm khác ở trên (điểm p3 điển hình) là không thể đạt được với sự phân bổ hiện tại.

Để tìm hiểu sâu hơn, Hộp Edgeworth Đường bàng quan cho phép chúng ta hình dung sự phân bổ và sở thích của hai tác nhân. Đường thẳng nối các điểm tiếp tuyến của cả hai đường cong (nơi độ dốc của chúng trùng nhau) được gọi là đường bàng quan. đường cong coNhững điểm này là tối ưu Pareto, nhưng vị trí của chúng phụ thuộc vào... tài trợ ban đầuBắt đầu với nguồn vốn ban đầu W, các giao dịch tự nguyện sẽ dẫn đến một điểm tiếp tuyến E hoặc F, tại đó cả hai bên không còn có thể cùng lúc thu được lợi ích. Tại W hoặc Z, nếu tồn tại một giao dịch cùng có lợi, hiệu quả Pareto vẫn chưa đạt được.

Hiệu quả không đồng nghĩa với công lý: sự công bằng, những lời chỉ trích và đề xuất

Hiệu quả Pareto là một thước đo "tối giản" có chủ đích. Chỉ vì một thứ gì đó hiệu quả không có nghĩa là nó... được xã hội ưa chuộngCó thể có nhiều tình huống hiệu quả Pareto với sự phân bổ rất khác nhau, và xã hội có thể coi trọng một số tình huống hơn những tình huống khác vì lý do đạo đức hoặc công bằng. Hãy tưởng tượng một thế giới nơi 1% sở hữu 99% của cải và phần còn lại sở hữu 1%: mà không cần thay đổi tổng sản lượng, bạn vẫn có thể có những trạng thái hiệu quả Pareto tạo ra thu nhập. khó chịu xã hội (được đo lường, ví dụ, bằng chỉ số GiniMột số người lập luận rằng các biện pháp phân phối lại không chỉ cải thiện sự công bằng mà còn có thể thúc đẩy nhu cầu và sản xuất (một trực giác rất gần với tư duy của Keynes).

Làm thế nào để kết hợp công lý? Một cách là đề xuất một "điểm tối ưu Pareto" thông qua... chức năng phúc lợi xã hội Điều đó kết hợp các sở thích với các tiêu chí đạo đức. Kenneth Arrow đã chỉ ra sự tinh tế của nỗ lực này: kết quả về tính bất khả thi của ông cho thấy những khó khăn trong việc xây dựng một quy tắc lựa chọn xã hội đồng thời đáp ứng các điều kiện mong muốn. Tuy nhiên, Amartya Sen lập luận rằng, với sự so sánh tiện ích giữa các cá nhân và phân tích cẩn thận, các trạng thái xã hội có thể được xếp hạng và nghiên cứu.
hậu quả phân phối (nghèo đói, bất bình đẳng) mà không rơi vào sự tùy tiện tuyệt đối.

Một quan điểm thú vị khác là của Abba Lerner. Dưới những giả định cụ thể (tổng thu nhập cố định, hàm phúc lợi xã hội lõm, hàm phúc lợi cá nhân lõm và phân bổ đồng đều các hàm này giữa các cá nhân), việc tối đa hóa phúc lợi xã hội kỳ vọng đạt được với một phân phối đồng đều về thu nhập. Đây không phải là một kết quả "phổ quát", nhưng nó minh họa rằng hiệu quả phân phối có thể thúc đẩy sự phân phối công bằng hơn nếu xã hội coi trọng thu nhập bổ sung ít hơn.

Tóm lại phần này: Nguyên tắc tối ưu Pareto không đưa ra phán xét về... công bằngPhương pháp này hữu ích trong việc phát hiện khi nào các khả năng cải thiện lẫn nhau đã cạn kiệt, nhưng lại không hiệu quả khi phải lựa chọn giữa các trạng thái hiệu quả với các phân bổ khác nhau. Đó là lúc đạo đức, chính trị và lý thuyết phúc lợi phát huy tác dụng, với các hàm phúc lợi, sở thích xã hội và so sánh giữa các cá nhân.

Thị trường, các định lý về phúc lợi và những giới hạn trong thực tiễn

Trong điều kiện lý tưởng (cạnh tranh hoàn hảo, thị trường cho tất cả hàng hóa, cân bằng tổng thể, thông tin hoàn hảo, chi phí giao dịch bằng không và không có...), ngoại tácĐịnh lý phúc lợi thứ nhất cho chúng ta biết rằng trạng thái cân bằng cạnh tranh là trạng thái hiệu quả Pareto. Nghĩa là, chỉ riêng thị trường cũng có thể dẫn đến những kết quả này.
Hiệu quả ParetoVấn đề là những điều kiện đó rất khắt khe và hiếm khi xảy ra trong thực tế.

Trên thực tế, định lý về Greenwald-Stiglitz Điều này cho thấy rằng khi các điều kiện lý tưởng này không được đáp ứng (thông tin không hoàn hảo, ngoại tác, chi phí giao dịch, thị trường không hoàn chỉnh), kết quả cạnh tranh thường không hiệu quả theo tiêu chí Pareto. Trong bối cảnh này, thiết kế chính sách công, quy định hoặc thuế điều chỉnh có thể cải thiện hiệu quả, mặc dù cũng cần phải xem xét các yếu tố sau: Thất bại của nhà nước Cùng với sự thất bại của thị trường: can thiệp sai cách cũng làm cho mọi thứ trở nên tồi tệ hơn.

Định lý phúc lợi thứ hai bổ sung thêm một sắc thái: trong những điều kiện nhất định, bất kỳ sự phân bổ hiệu quả Pareto nào cũng có thể đạt được như một trạng thái cân bằng cạnh tranh nếu chúng ta "điều chỉnh" nguồn lực ban đầu thông qua các khoản chuyển giao một lần. Nói cách khác, hiệu quả và công bằng có thể được tách biệt về mặt khái niệm: trước tiên chúng ta đạt được hiệu quả bằng giá cả và thị trường; sau đó chúng ta giải quyết vấn đề phân phối bằng transferenciasTrên thực tế, sự phân tách này không hề đơn giản và chúng ta gặp phải vấn đề nổi tiếng. Lý thuyết tốt thứ hai (Lipsey và Lancaster): Nếu một điều kiện lý tưởng không được đáp ứng, việc tối ưu hóa các điều kiện còn lại không đảm bảo kết quả tổng thể tốt nhất.

Trong khi đó, Tình trạng Samuelson Đối với hàng hóa công cộng (bằng tổng các tỷ lệ thay thế cận biên với chi phí cận biên), điều này chỉ ra tiêu chí hiệu quả trong việc cung cấp chúng, và liên kết với các chương chính của cuốn sách. kinh tế phúc lợiToàn bộ khuôn khổ lý thuyết này cùng tồn tại với "bùn lầy" của thực tế: thông tin bất đối xứng, sức mạnh thị trường, các vấn đề về đại lý và chi phí phối hợp mà nếu không được giải quyết, sẽ đẩy chúng ta ngày càng xa đường biên Pareto.

Tối ưu Pareto và cân bằng Nash: khi niềm tin thay đổi mọi thứ

Trong lý thuyết trò chơi, tối ưu Pareto không nên bị nhầm lẫn với... Cân bằng NashVí dụ điển hình trong sách giáo khoa là nghịch lý tù nhân: nếu cả hai tù nhân không thú nhận, họ sẽ nhận mức án nhẹ (tốt hơn cho cả hai); nhưng trạng thái cân bằng hợp lý, nếu họ không thể phối hợp hoặc tin tưởng lẫn nhau, là cả hai cùng thú nhận và nhận mức án trung bình. Trạng thái cân bằng (2,2) này ổn định, nhưng không hiệu quả theo nghĩa Pareto so với phương án thay thế (3,3). Điểm tối ưu Pareto là (3,3), nhưng nó không ổn định nếu không có cơ chế thỏa hiệp.

Sự căng thẳng này cũng xuất hiện trong kinh doanh. Trong các mối quan hệ hợp tác lâu dài (nhà cung cấp-khách hàng với các giao dịch lặp lại), kết quả gần giống với [điều sau đây] có thể xảy ra. Tối ưu Pareto Nếu có sự tin tưởng, các hợp đồng có hiệu lực và các cơ chế để trừng phạt hành vi sai phạm. Trong các môi trường cạnh tranh cụ thể và trong các thị trường mà... luật cạnh tranh Nó cản trở sự phối hợp các chiến lược (vì những lý do chính đáng); việc thiếu cam kết lẫn nhau đẩy chúng ta đến trạng thái cân bằng Nash kém hiệu quả hơn. Xây dựng lòng tin và điều chỉnh các động lực sẽ thay đổi đáng kể kết quả cuối cùng.

Ứng dụng thực tiễn: ra quyết định, phân tích và thuật toán

Ngoài lĩnh vực kinh tế thuần túy, lý thuyết Pareto còn được áp dụng rộng rãi trong nghiên cứu vận hành và khoa học dữ liệu. tối ưu hóa đa mục tiêu Các thuật toán đang được phát triển nhằm tìm kiếm các giá trị xấp xỉ cho đường Pareto (tập hợp các giải pháp không bị chi phối) để người ra quyết định có thể lựa chọn theo sở thích của họ. Một ví dụ điển hình là quy hoạch công nghiệp xem xét chi phí, thời gian và chất lượng; hoặc thiết kế sản phẩm, cân bằng hiệu suất, trọng lượng và giá cả.

Phân tích chi phí-lợi ích Phương pháp này dựa trên nguyên tắc Pareto để đánh giá các dự án: nếu có một phương án thay thế nào đó giúp cải thiện tình hình cho tất cả mọi người mà không gây hại cho bất kỳ ai, thì càng tốt. Vì điều này hiếm khi xảy ra, nên các biến thể như tiêu chí Kaldor-Hicks (tiềm năng bù đắp) được sử dụng, luôn ghi nhớ rằng chúng ta đang dần rời xa tiêu chuẩn Pareto "thuần túy". Ngay cả trong Tối ưu hóa BayesianKhi cần tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa đồng thời nhiều chỉ số (ví dụ: độ chính xác và độ trễ trong các mô hình), chúng ta nói đến bề mặt Pareto và các quyết định dựa trên sở thích.

Các khái niệm và tên gọi hữu ích cần ghi nhớ.

• Kinh tế phúc lợitình trạng của Samuelson và việc cung cấp hiệu quả các hàng hóa công cộng.
• Thất bại thị trường y Thất bại của nhà nước, có đề cập đến Greenwald-Stiglitz và quy định.
• Tối ưu hóa, tối ưu hóa đa mục tiêu và đường Pareto trong nghiên cứu vận hành.
• Lý thuyết tốt thứ hai (Lipsey và Lancaster), hữu ích y Vilfredo Pareto như một nguồn gốc khái niệm.
• vai trò của Joseph E. Stiglitzđóng góp từ Amartya Senvà ý tưởng về Tối ưu hóa Bayesian trong các bối cảnh đa mục tiêu.

Nhìn chung, tối ưu Pareto đóng vai trò như một la bàn chỉ ra khi nào sự cải thiện lẫn nhau đạt đến mức tối đa: vượt quá điểm đó, mọi thứ đều là sự đánh đổi. Nó vô cùng hữu ích trong việc định hình các quyết định với các mục tiêu mâu thuẫn, trong việc xây dựng chính sách khi thị trường không hoàn hảo, và trong việc hiểu tại sao cần có sự phối hợp và... sự tự tin Chúng tạo nên sự khác biệt giữa việc duy trì trạng thái cân bằng tầm thường hoặc tiến gần đến giới hạn. Nhưng chúng không quyết định thay chúng ta giữa các trạng thái hiệu quả với các phân bổ khác nhau; đó là nơi mà sở thích xã hội, đạo đức và chính sách công phát huy tác dụng, với những sự đánh đổi không thể tránh khỏi.

Bài viết liên quan:

Phân bổ hiệu quả Pareto: lý thuyết, ví dụ và ứng dụng